31. 下一个排列

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题目描述

整数数组的一个 排列 就是将其所有成员以序列或线性顺序排列。

• 例如，arr = [1,2,3] ，以下这些都可以视作 arr 的排列：[1,2,3]、[1,3,2]、[3,1,2]、[2,3,1] 。

整数数组的 下一个排列 是指其整数的下一个字典序更大的排列。更正式地，如果数组的所有排列根据其字典顺序从小到大排列在一个容器中，那么数组的 下一个排列 就是在这个有序容器中排在它后面的那个排列。如果不存在下一个更大的排列，那么这个数组必须重排为字典序最小的排列（即，其元素按升序排列）。

• 例如，arr = [1,2,3] 的下一个排列是 [1,3,2] 。
• 类似地，arr = [2,3,1] 的下一个排列是 [3,1,2] 。
• 而 arr = [3,2,1] 的下一个排列是 [1,2,3] ，因为 [3,2,1] 不存在一个字典序更大的排列。

给你一个整数数组 nums ，找出 nums 的下一个排列。

必须 原地 修改，只允许使用额外常数空间。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3]
输出：[1,3,2]

示例 2：

输入：nums = [3,2,1]
输出：[1,2,3]

示例 3：

输入：nums = [1,1,5]
输出：[1,5,1]

提示：

• 1 <= nums.length <= 100
• 0 <= nums[i] <= 100

思路拆解

我们要找到一个大于当前序列的新序列，且变大的幅度尽可能小。

1. 从后向前查找第一个升序对：

   • 我们需要找到两个相邻元素 nums[i] 和 nums[i+1]，满足 nums[i] < nums[i+1]。
   • 这样，nums[i] 就是需要被替换成更大数字的位置（称为“较小数”），因为交换 nums[i] 后，序列变大的幅度主要由高位决定，越靠右的高位变动幅度越小。
   • 如果在整个数组中都找不到这样的相邻元素，说明数组已经是降序排列（最大排列），直接将其反转为升序（最小排列）即可。

2. 从后向前查找第一个比 nums[i] 大的数：

   • 在 i 之后的部分（即 nums[i+1] 到 nums[n-1]），由于步骤 1 中 i 是第一个满足升序的位置，所以 nums[i+1] 到 nums[n-1] 必然是降序的。
   • 我们需要在这个降序区间中，找到第一个比 nums[i] 大的数 nums[j]（称为“较大数”）。
   • 因为 nums[i+1] 到 nums[n-1] 是降序的，所以从后往前找，第一个满足 nums[j] > nums[i] 的 j 就是我们要找的最小的“较大数”。

3. 交换 nums[i] 和 nums[j]：

   • 交换后，i 位置变大了，整个序列的字典序变大了。
   • 但是，i 之后的部分可能还不是最小的排列。

4. 反转 i 之后的部分：

   • 由于交换前 nums[i+1] 到 nums[n-1] 是降序的，交换后（nums[j] 换到 i，nums[i] 换到 j），这一段依然保持降序性质（因为 nums[j] 是第一个比 nums[i] 大的，交换后该位置变小了，但对于降序序列来说不影响整体趋势，严谨证明略，但直观上成立）。
   • 为了让变大的幅度尽可能小，我们需要让 i 之后的部分变为升序（最小排列）。
   • 因为这部分目前是降序的，直接 反转 即可变为升序。

代码实现

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {void} Do not return anything, modify nums in-place instead.
 */
var nextPermutation = function(nums) {
    const n = nums.length;
    let i = n - 2;

    // 1. 从后向前找到第一个升序对 (nums[i] < nums[i+1])
    while (i >= 0 && nums[i] >= nums[i + 1]) {
        i--;
    }

    if (i >= 0) {
        // 2. 如果找到了 i，则在 i 后面找到第一个比 nums[i] 大的数
        let j = n - 1;
        while (j > i && nums[j] <= nums[i]) {
            j--;
        }
        // 3. 交换 nums[i] 和 nums[j]
        [nums[i], nums[j]] = [nums[j], nums[i]];
    }

    // 4. 反转 i + 1 之后的所有元素，使其变为升序
    let left = i + 1;
    let right = n - 1;
    while (left < right) {
        [nums[left], nums[right]] = [nums[right], nums[left]];
        left++;
        right--;
    }
};

运行演示

假设 nums = [1, 2, 3]

1. n = 3, i = 1。
2. nums[1] (2) < nums[2] (3)，循环不执行，i 停在 1。
3. i >= 0，进入 if 块。
4. j = 2。
5. nums[2] (3) > nums[1] (2)，循环不执行，j 停在 2。
6. 交换 nums[1] 和 nums[2] -> nums 变为 [1, 3, 2]。
7. 反转 i + 1 (即 2) 之后的元素：
   • left = 2, right = 2。
   • left < right 不成立，循环结束。
8. 结果：[1, 3, 2]。

假设 nums = [3, 2, 1]

1. i = 1。nums[1] (2) >= nums[2] (1)，i-- -> i = 0。
2. nums[0] (3) >= nums[1] (2)，i-- -> i = -1。
3. i < 0，不执行 if 块。
4. 反转 0 + 1 (即 0) 之后的元素（整个数组）：
   • left = 0, right = 2。交换 3 和 1 -> [1, 2, 3]。
   • left++, right-- -> left = 1, right = 1。
   • 结束。
5. 结果：[1, 2, 3]。

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 n 是数组的长度。最坏情况下需要扫描数组两次（一次找 i，一次找 j）并反转一次。
• 空间复杂度：$O(1)$，只使用了常数个额外空间。