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题目描述

给你两个单词 word1 和 word2， 请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

1. 插入一个字符
2. 删除一个字符
3. 替换一个字符

示例 1：

输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')

示例 2：

输入：word1 = "intention", word2 = "execution"
输出：5
解释：
intention -> inention (删除 't')
inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')
enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')
exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')
exection -> execution (插入 'u')

思路拆解

这也是一道经典的二维动态规划题目，是「最长公共子序列」的升级版。

动态规划

1. 定义状态：dp[i][j] 表示将 word1 的前 i 个字符转换成 word2 的前 j 个字符所需要的最少操作数。
2. 状态转移方程：
   • 比较 word1[i-1] 和 word2[j-1]：
     • 如果 word1[i-1] === word2[j-1]，不需要进行任何操作，操作数等于之前的状态：
       • dp[i][j] = dp[i-1][j-1]。
     • 如果 word1[i-1] !== word2[j-1]，我们可以进行三种操作，取最小值并加 1：
       • 插入：相当于在 word1 的前 i 个字符后插入一个字符变成 word2 的前 j 个。这等价于将 word1 的前 i 个字符转换成 word2 的前 j-1 个字符，然后插入 word2[j-1]。即 dp[i][j-1] + 1。
       • 删除：相当于删除 word1 的第 i 个字符，使其变成 word2 的前 j 个。这等价于将 word1 的前 i-1 个字符转换成 word2 的前 j 个字符。即 dp[i-1][j] + 1。
       • 替换：相当于将 word1 的第 i 个字符替换成 word2 的第 j 个字符。即 dp[i-1][j-1] + 1。
       • 综上：dp[i][j] = Math.min(dp[i][j-1], dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]) + 1。
3. 初始条件：
   • dp[0][j] = j：空字符串变到长度 j 的字符串，需要插入 j 次。
   • dp[i][0] = i：长度 i 的字符串变到空字符串，需要删除 i 次。
4. 返回值：
   • dp[m][n]。

代码实现

/**
 * @param {string} word1
 * @param {string} word2
 * @return {number}
 */
var minDistance = function(word1, word2) {
    const m = word1.length;
    const n = word2.length;
    const dp = new Array(m + 1).fill(0).map(() => new Array(n + 1).fill(0));
    
    // 初始化第一行和第一列
    for (let i = 0; i <= m; i++) dp[i][0] = i;
    for (let j = 0; j <= n; j++) dp[0][j] = j;
    
    for (let i = 1; i <= m; i++) {
        for (let j = 1; j <= n; j++) {
            if (word1[i - 1] === word2[j - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                dp[i][j] = Math.min(
                    dp[i - 1][j],    // 删除
                    dp[i][j - 1],    // 插入
                    dp[i - 1][j - 1] // 替换
                ) + 1;
            }
        }
    }
    
    return dp[m][n];
};

运行演示

假设 word1 = "horse", word2 = "ros"：

1. 初始化：
   • dp 第一行：0, 1, 2, 3
   • dp 第一列：0, 1, 2, 3, 4, 5
2. i = 1 ('h'):
   • j = 1 ('r'): 不等 -> min(dp[0][1], dp[1][0], dp[0][0]) + 1 = min(1, 1, 0) + 1 = 1 (替换 h->r)。
   • j = 2 ('o'): 不等 -> min(dp[0][2], dp[1][1], dp[0][1]) + 1 = min(2, 1, 1) + 1 = 2。
   • j = 3 ('s'): 不等 -> 3。
3. i = 2 ('o'):
   • j = 1 ('r'): 不等 -> 2。
   • j = 2 ('o'): 相等 -> dp[1][1] = 1。
   • j = 3 ('s'): 不等 -> 2。
4. ...
5. 最终结果为 3。

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(m \times n)$，需要遍历 dp 数组。
• 空间复杂度：$O(m \times n)$，需要二维数组。