最长公共子序列

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题目描述

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的 最长公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。 例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

示例 1：

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 
输出：3  
解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。

示例 2：

输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。

示例 3：

输入：text1 = "abc", text2 = "def"
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。

思路拆解

这是一道经典的二维动态规划题目。

动态规划

1. 定义状态：dp[i][j] 表示 text1 的前 i 个字符和 text2 的前 j 个字符的最长公共子序列的长度。
2. 状态转移方程：
   • 比较 text1[i-1] 和 text2[j-1]（注意 dp 索引从 1 开始，对应字符串索引要减 1）：
     • 如果 text1[i-1] === text2[j-1]，说明找到了一个公共字符。
       • dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。
     • 如果 text1[i-1] !== text2[j-1]，说明这两个字符不同时属于公共子序列，我们需要继承之前的最大值。
       • dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。
3. 初始条件：
   • dp[0][...] 和 dp[...][0] 均为 0（空字符串与任何字符串的公共子序列长度为 0）。
4. 返回值：
   • dp[m][n]，其中 m 和 n 分别是两个字符串的长度。

代码实现

/**
 * @param {string} text1
 * @param {string} text2
 * @return {number}
 */
var longestCommonSubsequence = function(text1, text2) {
    const m = text1.length;
    const n = text2.length;
    const dp = new Array(m + 1).fill(0).map(() => new Array(n + 1).fill(0));
    
    for (let i = 1; i <= m; i++) {
        for (let j = 1; j <= n; j++) {
            if (text1[i - 1] === text2[j - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            } else {
                dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
    }
    
    return dp[m][n];
};

运行演示

假设 text1 = "abcde", text2 = "ace"：

1. 初始化 dp 全 0。
2. i = 1 ('a'):
   • j = 1 ('a'): 相等 -> dp[1][1] = dp[0][0] + 1 = 1。
   • j = 2 ('c'): 不等 -> max(dp[0][2], dp[1][1]) = 1。
   • j = 3 ('e'): 不等 -> max(dp[0][3], dp[1][2]) = 1。
3. i = 2 ('b'):
   • j = 1 ('a'): 不等 -> max(dp[1][1], dp[2][0]) = 1。
   • ...
4. i = 3 ('c'):
   • ...
   • j = 2 ('c'): 相等 -> dp[3][2] = dp[2][1] + 1 = 1 + 1 = 2。
   • ...
5. i = 5 ('e'):
   • ...
   • j = 3 ('e'): 相等 -> dp[5][3] = dp[4][2] + 1 = 2 + 1 = 3。

返回 3。

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(m \times n)$，需要遍历 dp 数组。
• 空间复杂度：$O(m \times n)$，需要二维数组（可以优化到 $O(\min(m, n))$）。