295. 数据流的中位数

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1. 题目呈现

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中位数是有序整数列表中的中间值。如果列表的大小是偶数，则没有中间值，中位数是两个中间值的平均值。

例如 arr = [2,3,4] 的中位数是 3 。
例如 arr = [2,3] 的中位数是 (2 + 3) / 2 = 2.5 。

实现 MedianFinder 类:

MedianFinder() 初始化 MedianFinder 对象。
void addNum(int num) 将数据流中的整数 num 添加到数据结构中。
double findMedian() 返回到目前为止所有元素的中位数。与实际答案相差 10^-5 以内的答案将被接受。

示例 1：

text

输入
["MedianFinder", "addNum", "addNum", "findMedian", "addNum", "findMedian"]
[[], [1], [2], [], [3], []]
输出
[null, null, null, 1.5, null, 2.0]

解释
MedianFinder medianFinder = new MedianFinder();
medianFinder.addNum(1);    // arr = [1]
medianFinder.addNum(2);    // arr = [1, 2]
medianFinder.findMedian(); // 返回 1.5 ((1 + 2) / 2)
medianFinder.addNum(3);    // arr[1, 2, 3]
medianFinder.findMedian(); // return 2.0

2. 思路拆解

要高效地找到中位数，我们可以将数据分为两部分：

较小的一半：存储在 大顶堆 (Max Heap) 中。
较大的一半：存储在 小顶堆 (Min Heap) 中。

维护规则：

设大顶堆为 maxHeap，小顶堆为 minHeap。
maxHeap 的堆顶元素是较小一半中最大的。
minHeap 的堆顶元素是较大一半中最小的。
平衡性：我们保持两个堆的元素数量相等，或者 maxHeap 比 minHeap 多一个。
- 即 0 <= maxHeap.size() - minHeap.size() <= 1。

添加元素 (addNum)：

先将新元素放入 maxHeap。
为了保证顺序（maxHeap 中的所有元素 <= minHeap 中的所有元素），将 maxHeap 堆顶弹出并放入 minHeap。
如果此时 minHeap 的数量超过了 maxHeap（违背了平衡性规则），将 minHeap 堆顶弹出并放回 maxHeap。

查找中位数 (findMedian)：

如果 maxHeap 元素多（总数为奇数），中位数就是 maxHeap 堆顶。
如果两个堆元素一样多（总数为偶数），中位数是 (maxHeap堆顶 + minHeap堆顶) / 2。

3. 代码实现

由于 JavaScript 没有内置的优先队列，我们需要手动实现 Heap 类。

javascript

class Heap {
    constructor(comparator = (a, b) => a - b) {
        this.heap = [];
        this.comparator = comparator;
    }

    push(val) {
        this.heap.push(val);
        this.bubbleUp(this.heap.length - 1);
    }

    pop() {
        if (this.size() === 0) return null;
        if (this.size() === 1) return this.heap.pop();
        const top = this.heap[0];
        this.heap[0] = this.heap.pop();
        this.bubbleDown(0);
        return top;
    }

    peek() {
        return this.heap[0];
    }

    size() {
        return this.heap.length;
    }

    bubbleUp(index) {
        while (index > 0) {
            const parentIndex = Math.floor((index - 1) / 2);
            if (this.comparator(this.heap[index], this.heap[parentIndex]) >= 0) break;
            [this.heap[index], this.heap[parentIndex]] = [this.heap[parentIndex], this.heap[index]];
            index = parentIndex;
        }
    }

    bubbleDown(index) {
        while (true) {
            let swapIndex = index;
            const left = 2 * index + 1;
            const right = 2 * index + 2;

            if (left < this.size() && this.comparator(this.heap[left], this.heap[swapIndex]) < 0) {
                swapIndex = left;
            }
            if (right < this.size() && this.comparator(this.heap[right], this.heap[swapIndex]) < 0) {
                swapIndex = right;
            }

            if (swapIndex === index) break;
            [this.heap[index], this.heap[swapIndex]] = [this.heap[swapIndex], this.heap[index]];
            index = swapIndex;
        }
    }
}

var MedianFinder = function() {
    // 小顶堆，存较大的一半，比较器默认 a - b
    this.minHeap = new Heap((a, b) => a - b);
    // 大顶堆，存较小的一半，比较器 b - a
    this.maxHeap = new Heap((a, b) => b - a);
};

/** 
 * @param {number} num
 * @return {void}
 */
MedianFinder.prototype.addNum = function(num) {
    // 1. 先放入 maxHeap
    this.maxHeap.push(num);
    // 2. 将 maxHeap 最大的移到 minHeap，保证顺序性
    this.minHeap.push(this.maxHeap.pop());
    
    // 3. 保持平衡：maxHeap 的数量 >= minHeap 的数量
    if (this.maxHeap.size() < this.minHeap.size()) {
        this.maxHeap.push(this.minHeap.pop());
    }
};

/**
 * @return {number}
 */
MedianFinder.prototype.findMedian = function() {
    if (this.maxHeap.size() > this.minHeap.size()) {
        return this.maxHeap.peek();
    } else {
        return (this.maxHeap.peek() + this.minHeap.peek()) / 2.0;
    }
};

4. 运行 Demo

javascript

const medianFinder = new MedianFinder();
medianFinder.addNum(1);
medianFinder.addNum(2);
console.log(medianFinder.findMedian()); // 1.5
medianFinder.addNum(3);
console.log(medianFinder.findMedian()); // 2.0

5. 复杂度分析

时间复杂度：
- addNum: $O(\log n)$。堆的插入和删除操作。
- findMedian: $O(1)$。直接访问堆顶。
空间复杂度：$O(n)$。存储所有元素。

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